しょうご君とパパの算数格闘記

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zoom RSS 正方形の中の面積

<<   作成日時 : 2013/03/01 23:03   >>

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下の図のように、1辺の長さが 2cm の正方形ABCD があり、点E,Fはそれぞれ辺AB,BC を2等分する点です。直線DEと直線AF の交点をG,直線BD と直線AF の交点をH とするとき次の面積を求めなさい。

(1)三角形HBF の面積
(2)四角形GEBH の面積

画像


(開成中)








しょうご:
三角形HBF は上のほうの三角形HADと相似になるね


パパ:
基本的だね


しょうご:
三角形HBF と三角形HADの相似の比は1:2なので
高さも1:2になるから、両方の高さの2cmを1:2に分けることになるね。
つまり、三角形HBFの高さは2cm×1/3=2/3cm


パパ:
そこまでわかればすぐだね。


しょうご:
三角形HBF の底辺は1cmなので
面積は、1cm×2/3cm÷2=1/3cu


パパ:
(2)はどうする?


しょうご:
三角形ABFの面積は1cm×2cm÷2=1cuなので
三角形ABHの面積は、三角形ABFの面積−三角形HBFの面積=1cu−1/3cu=2/3cu
ということで、あとは三角形AEGの面積がわかればいいね。


パパ:
これは難しそうだけど、どうしよう


しょうご:
Gのところで、垂直に交わっているから、直角三角形の相似をつかうのかな


パパ:
なるほど


しょうご:
三角形AEGと相似なのは、三角形AGD、三角形AED、三角形ABFとかだけど、
三角形AEGと長さの比がすぐわかるのは、三角形AGDかな


パパ:
それで?


しょうご:
直角三角形の斜めの辺を見てみると、
三角形AEGは1cmで、三角形AGDは2cmなので、相似の比は1:2で面積の比は1:4になるね。
そうすると、三角形AEGと三角形AGDをあわせた三角形AEDの面積は1cm×2cm÷2=1cuなので
三角形AEGの面積は1/5cuということになる。


パパ:
後は引くだけだね


しょうご:
三角形ABHの面積は、2/3cuなので
四角形GEBH の面積=三角形ABHの面積−三角形AEGの面積=2/3cu−1/5cu
  =10/15−3/15=7/15cu



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