しょうご君とパパの算数格闘記

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zoom RSS 正六角形の中の六角形

<<   作成日時 : 2013/02/28 23:22   >>

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正六角形ABCDEFの辺BC,DE,FAのそれぞれまん中の点をP,Q,Rとし,辺AB,CD,EF上にそれぞれS,T,Uをとり,図のように結んで六角形PTQURSを作る。この六角形PTQURSと正六角形ABCDEFの面積の比を,最も簡単な整数の比で表しなさい

画像


(慶應義塾湘南藤沢中等部)








しょうご:
S,T,Uがどこにあっても、同じなんだろうね


パパ:
そうかもね


しょうご:
RQとFEは平行なのでUがFE上のどこにあっても三角形URQの面積は一緒だね
そうするとS,T,Uがどこにあっても六角形PTQURSの面積は同じだね


パパ:
うんうん


しょうご:
じゃあとりあえず、UがFEの中点にあるとしてみよう


画像


しょうご:
三角形FRU'が角にあるけど、これと合同なのが、6つの隅にあるので
この三角形FRU'の面積の比がわかればいいね


パパ:
どうする?


しょうご:
小さい三角形に分けてみよう


画像


しょうご:
こうやって分けてみると、三角形FRU'は四角形ORFU'のちょうど4分の一だね。
四角形ORFU'は全体の六角形の6分の1なので、
三角形FRU'は全体の六角形の24分の1になる


パパ:
うんうん


しょうご:
三角形FRU'と合同なのが6つあるので、6つの隅の三角形の合計は
24分の1が6個で、4分の1
つまり、内側の六角形の面積は、その4分の1を除いた4分の3だね。
ということで、答えは3:4だね


パパ:
別のやり方としては


画像


パパ:
のように内側の六角形を正六角形にして辺の長さを比べると
外側の正六角形の辺の長さと、内側の正六角形の辺の長さは、
ちょうど、正三角形の辺の長さと、高さの関係になるね。
ピタゴラスの定理から、その比は2:√3になるから
面積はその2乗の、4:3になるね。



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